Explication de l'arithmétique binaire Explanation of Binary Arithmetic Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) 1703 Cold Library · Open Stacks · S-007004 · https://coldlibrary.com/s/007004 Rights: Written in 1703 for the Académie royale des sciences in Paris; Leibniz died in 1716, and the editor C. I. Gerhardt in 1899. Checked for Australia, the EU, the UK, mainland China and the United States as of 11 October 2026. Guidance, not legal advice. Source: Wikisource, https://fr.wikisource.org/wiki/Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Numération.binaire (retrieved 2026-10-11) English translation: Claude (an AI), 2026 · CC0 1.0 Generated 2026-10-14 from https://coldlibrary.com/en/open-stacks/leibniz-explanation-of-binary-arithmetic ---- Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy. Le calcul ordinaire d’Arithmétique se fait suivant la progression de dix en dix. On se sert de dix caractères, qui sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, qui signifient zéro, un et les nombres suivans jusqu’à neuf inclusivement. Et puis allant à dix, on recommence, et on écrit dix par 10, et dix fois dix ou cent par 100, et dix fois cent ou mille par 1000, et dix fois mille par 10000, et ainsi de suite. Mais au lieu de la progression de dix en dix, j’ai employé depuis plusieurs années la progression la plus simple de toutes, qui va de deux en deux, ayant trouvé qu’elle sert à la perfection de la science des Nombres. Ainsi je n’y employé point d’autres caractères que 0 et 1, et puis allant à deux, je recommence. C’est pourquoi deux s’écrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, et deux fois quatre ou huit par 1000, et deux fois huit ou seize par 10000, et ainsi de suite. Voici la Table des Nombres de cette façon, qu’on peut continuer tant que l’on voudra. On voit ici d’un coup d’oeil la raison d’une propriété célèbre de la progression Géométrique double en Nombres entiers, qui porte que si on n’a qu’un de ces nombres de chaque degré, on en peut composer tous les autres nombres entiers au dessous du double du plus haut degré. Car ici, c’est comme si on disait par exemple, que 111 ou 7 est la somme de quatre, de deux et un, et que 1101 ou 13 est la somme de huit, quatre et un. Cette propriété sert aux Essayeurs pour peser toutes sortes de masses avec peu de poids et pourroit servir dans les monnoyes pour donner plusieurs valeurs avec peu de pièces. Cette expressions des Nombres étant établie, sert à faire très facilement toutes sortes d’opérations. Et toutes ces opérations sont si aisées, qu’on n’a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire. On n’a point besoin non plus de rien apprendre par coeur ici, comme il faut faire dans le calcul ordinaire, où il faut, savoir, par exemple, que 6 et 7 pris ensemble font 13, et que 5 multiplié par 3 donne 15, suivant la Table d’une fois un est un, qu’on appelle Pythagorique. Mais ici tout cela se trouve et se prouve de source, comme l’on voit dans les exemples précédens sous les signes ☽ et ⊙. Cependant je ne recommande point cette manière de compter, pour la faire introduire à la place de la pratique ordinaire par dix. Car outre qu’on est accoutumé à celle-ci, on n’y a point besoin d’y apprendre ce qu’on a déjà appris par coeur : ainsi la pratique par dix est plus abrégée, et les nombres y sont moins longs. Et si on étoit accoutumé à aller par douze ou par seize, il y auroit encore plus d’avantage. Mais le calcul par deux, c’est-à-dire par 0 et par 1, en récompense de sa longueur, est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles découvertes, qui se trouvent utiles ensuite, même pour la pratique des nombres, et surtout pour la Géométrie, dont la raison est que les nombres étant réduits aux plus simples principes, comme 0 et 1, il paroit partout un ordre merveilleux. Pour exemple, dans la Table même des Nombres, on voit en chaque colonne régner des périodes qui recommencent toujours. Dans la première colonne c’est 01, dans la seconde 0011, dans la troisième 00001111, dans la quatrième 0000000011111111, et ainsi de suite. Et on a mis de petits zéros dans la Table pour remplir le vuide au commencement de la colonne, et pour mieux marquer ces périodes. On a mené aussi des lignes dans la Table, qui marquent que ce que ces lignes renferment revient toujours sous elles. Et il se trouve encore que les Nombres Quarrés, Cubiques et d’autres puissances, item les Nombres Triangulaires, Pyramidaux et d’autres nombres figurés, ont aussi de semblables périodes, de sorte qu’on en peut écrire les Tables tout de suite, sans calculer. Et une prolixité dans le commencement, qui donne ensuite le moyen d’epargner le calcul et d’aller à l’infini par règle, est infiniment avantageuse. Ce qu’il y a de surprenant dans ce calcul, c’est que cette Arithmétique par 0 et 1 se trouve contenir le mystère des lignes d’un ancien Roi et Philosophe nommé Fohy, qu’on croit avoir vécu il y a plus de quatre mille ans et que les Chinois regardent comme le Fondateur de leur Empire et de leurs sciences. Il y a plusieurs figures linéaires qu’on lui attribue, elles reviennent toutes à cette Arithmétique ; mais il suffit de mettre ici la Figure de huit Cova comme on l’appelle, qui passe pour fondamentale, et d’y joindre l’explication qui est manifeste, pourvu qu’on remarque premièrement qu’une ligne entière — signifie l’unité ou 1, et secondement qu’une ligne brisée - - signifie le zéro ou 0. ¦¦¦ · 000 · 0 · 0 ¦¦| · 001 · 1 · 1 ¦|¦ · 010 · 10 · 2 ¦|| · 011 · 11 · 3 |¦¦ · 100 · 100 · 4 |¦| · 101 · 101 · 5 ||¦ · 110 · 110 · 6 ||| · 111 · 111 · 7 Les Chinois ont perdu la signification des Cova ou Lineations de Fohy, peut-être depuis plus d’un millénaire d’années, et ils ont fait des Commentaires la-dessus, où ils ont cherché je ne sçai quels sens éloignés, de sorte qu’il a fallu que la vraie explication leur vint maintenant des Européens. Voici comment : Il n’y a guères plus de deux ans que j’envoyai au R. P. Bouvet, Jésuite Français célèbre, qui demeure à Pékin, ma manière de compter par 0 et 1, et il n’en fallut pas davantage pour lui faire reconnaître que c’est la clef des figures de Fohy. Ainsi m’écrivant le 14 Novembre 1701, il m’a envoyé la grande figure de ce Prince Philosophe qui va à 64, et ne laisse plus lieu de douter de la vérité de notre interprétation, de sorte qu’on peut dire que ce Père a déchiffré l’enigme de Fohy, à l’aide de ce que je lui avois communiqué. Et comme ces figures sont peut-être le plus ancien monument de science qui soit au monde, cette restitution de leur sens, après un si grand intervalle de tems, paroitra d’autant plus curieuse. Le consentement des figures de Fohy et ma Table des Nombres se fait mieux voir, lorsque dans la Table on supplée les zéros initiaux, qui paroissent superflus, mais qui servent à mieux marquer la période de la colonne, comme je les y ai supplées en effet avec des petits ronds pour les distinguer des zéros nécessaires, et cet accord me donne un grande opinion de la profondeur des méditations de Fohy. Car ce qui nous paroit aisé maintenant, ne l’étoit pas tout dans ces tems éloignés. L’Arithmétique Binaire ou Dyadique est en effet fort aisée aujourd’hui, pour peu qu’on y pense, parce que notre manière de compter y aide beaucoup, dont il semble qu’on retranche seulement le trop. Mais cette Arithmétique ordinaire pour dix ne paroit pas fort ancienne, au moins les Grecs et les Romains l’ont ignorée et ont été privés de ses avantages. Il semble que l’Europe en doit l’introduction à Gerbert, depuis Pape sous le nom de Sylvestre II, qui l’a eue des Maures d’Espagne. Or comme l’on croit à la Chine que Fohy est encore auteur des caractères Chinois, quoique fort altérés par la suite des tems ; son essai d’Arithmétique fait juger qu’il pourroit bien s’y trouver encore quelque chose de considérable par rapport aux nombres et aux idées, si l'on pouvoit déterrer le fondement de l’écriture Chinoise, d’autant plus qu’on croit à la Chine, qu’il a eu égard aux nombres en l’établissant. Le R. P. Bouvet est fort porté à pousser cette pointe, et très capable d’y réussir en bien des manières. Cependant je ne sçai s’il y a jamais eu dans l’écriture Chinoise un avantage approchant de celui qui doit être nécessairement dans une Caractéristique que je projette. C’est que tout raisonnement qu’on peut tirer des notions, pourroit être tiré de leurs Caractères par une manière de calcul, qui seroit un des plus importans moyens d’aider l’esprit humain. ---- English translation by Claude (an AI) Explanation of Binary Arithmetic, which uses only the characters 0 and 1, with remarks on its usefulness, and on how it gives the meaning of the ancient Chinese figures of Fohy. Ordinary arithmetic proceeds by tens. We use ten characters, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, which signify zero, one and the following numbers up to nine inclusive. Then, on reaching ten, we begin again, and write ten as 10, ten times ten or a hundred as 100, ten times a hundred or a thousand as 1000, ten times a thousand as 10000, and so on. But instead of going by tens, I have for some years used the simplest progression of all, which goes by twos, having found that it serves to perfect the science of Numbers. So I use no other characters in it than 0 and 1, and then, on reaching two, I begin again. That is why two is written here as 10, two times two or four as 100, two times four or eight as 1000, two times eight or sixteen as 10000, and so on. Here is the Table of Numbers written in this way, which may be continued as far as one likes. One sees here at a glance the reason for a celebrated property of the doubling geometric progression in whole numbers: that if one has only one of these numbers of each degree, one can compose from them all the other whole numbers below the double of the highest degree. For here it is as if one said, for example, that 111 or 7 is the sum of four, two and one, and that 1101 or 13 is the sum of eight, four and one. This property is used by assayers to weigh all sorts of masses with few weights, and could be used in coinage to give many values with few pieces. This way of expressing numbers, once established, makes it very easy to carry out every kind of operation. And all these operations are so easy that one never needs to try or guess anything, as one must in ordinary division. Nor does one need to learn anything by heart here, as one must in ordinary calculation, where one has to know, for example, that 6 and 7 taken together make 13, and that 5 multiplied by 3 gives 15, according to the table of once-one-is-one called Pythagorean. Here all of that is found and proved from the source, as one sees in the preceding examples under the signs ☽ and ⊙. Yet I do not recommend this way of counting to replace the ordinary practice by tens. For besides our being used to the latter, we need learn nothing in it that we have not already learned by heart: so the practice by tens is shorter, and the numbers in it are less long. And if we were used to going by twelves or by sixteens, there would be still more advantage. But reckoning by twos, that is by 0 and 1, makes up for its length by being the most fundamental for science, and it yields new discoveries which then prove useful even for the practice of numbers, and above all for Geometry. The reason is that when numbers are reduced to the simplest principles, such as 0 and 1, a marvellous order appears everywhere. For example, in the Table of Numbers itself, one sees periods reigning in each column, always beginning again. In the first column it is 01, in the second 0011, in the third 00001111, in the fourth 0000000011111111, and so on. Little zeros have been put in the Table to fill the gap at the head of each column and to mark these periods better. Lines have also been drawn in the Table to show that what they enclose always comes round again beneath them. And it turns out further that square numbers, cubes and other powers, and likewise triangular numbers, pyramidal numbers and other figurate numbers, have similar periods, so that their tables can be written straight off, without calculating. And a prolixity at the start, which then gives the means of sparing calculation and going on to infinity by rule, is infinitely advantageous. What is surprising in this reckoning is that this arithmetic by 0 and 1 turns out to contain the mystery of the lines of an ancient king and philosopher named Fohy, who is believed to have lived more than four thousand years ago and whom the Chinese regard as the founder of their empire and of their sciences. Several linear figures are attributed to him, and they all come back to this arithmetic; but it is enough to set down here the Figure of the eight Cova, as it is called, which is held to be fundamental, and to add the explanation, which is manifest, provided one notes first that a whole line — signifies unity or 1, and second that a broken line - - signifies zero or 0. ¦¦¦ · 000 · 0 · 0 ¦¦| · 001 · 1 · 1 ¦|¦ · 010 · 10 · 2 ¦|| · 011 · 11 · 3 |¦¦ · 100 · 100 · 4 |¦| · 101 · 101 · 5 ||¦ · 110 · 110 · 6 ||| · 111 · 111 · 7 The Chinese have lost the meaning of the Cova or lineations of Fohy, perhaps for more than a thousand years, and they have written commentaries on them in which they sought I know not what far-fetched senses, so that the true explanation has had to come to them now from Europeans. This is how it happened. It is scarcely more than two years since I sent the Reverend Father Bouvet, the celebrated French Jesuit who lives in Peking, my way of counting by 0 and 1, and nothing more was needed for him to recognise that it is the key to the figures of Fohy. Writing to me on 14 November 1701, he sent me this philosopher-prince's great figure, which goes up to 64, and which leaves no further room to doubt the truth of our interpretation; so that one may say this Father has deciphered the enigma of Fohy with the help of what I had communicated to him. And since these figures are perhaps the most ancient monument of science in the world, this restoration of their meaning after so great an interval of time will seem all the more curious. The agreement between the figures of Fohy and my Table of Numbers is seen better when the initial zeros are supplied in the Table. They seem superfluous, but they serve to mark the period of each column better, and I have in fact supplied them there as little circles, to distinguish them from the necessary zeros. This agreement gives me a high opinion of the depth of Fohy's meditations. For what seems easy to us now was not so at all in those distant times. Binary or dyadic arithmetic is indeed very easy today, if one gives it a little thought, because our way of counting helps a great deal: it seems that one simply cuts away what is too much. But this ordinary arithmetic by tens does not seem very ancient; at least the Greeks and Romans did not know it and were deprived of its advantages. It seems that Europe owes its introduction to Gerbert, later Pope under the name of Sylvester II, who had it from the Moors of Spain. Now since it is believed in China that Fohy is also the author of the Chinese characters, though they have been much altered in the course of time, his essay in arithmetic leads one to think that something considerable might still be found there concerning numbers and ideas, if one could unearth the foundation of Chinese writing, all the more since it is believed in China that he had numbers in view when he established it. The Reverend Father Bouvet is much inclined to press this point, and very capable of succeeding in it in many ways. Yet I do not know whether there has ever been in Chinese writing an advantage approaching the one that must necessarily be in a Characteristic I am planning: namely, that every piece of reasoning that can be drawn from notions could be drawn from their characters by a manner of calculation, which would be one of the most important means of aiding the human mind.