Explication de l'arithmétique binaire 二进制算术释义 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 Gottfried Wilhelm Leibniz（1646–1716） 1703 年 冷冻图书馆 · 开架书库 · S-007004 · https://coldlibrary.com/s/007004 权利：1703 年为巴黎皇家科学院而作；作者卒于 1716 年，编者格哈特卒于 1899 年。已按澳大利亚、欧盟、英国、中国大陆和美国的规则核对（截至 2026 年 10 月 11 日）。仅供参考，不是法律意见。 来源：Wikisource，https://fr.wikisource.org/wiki/Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Numération.binaire（取于 2026-10-11） 中文译文：Claude（AI），2026 · CC0 1.0 生成于 2026-10-14，来自 https://coldlibrary.com/open-stacks/leibniz-explanation-of-binary-arithmetic ---- Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy. Le calcul ordinaire d’Arithmétique se fait suivant la progression de dix en dix. On se sert de dix caractères, qui sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, qui signifient zéro, un et les nombres suivans jusqu’à neuf inclusivement. Et puis allant à dix, on recommence, et on écrit dix par 10, et dix fois dix ou cent par 100, et dix fois cent ou mille par 1000, et dix fois mille par 10000, et ainsi de suite. Mais au lieu de la progression de dix en dix, j’ai employé depuis plusieurs années la progression la plus simple de toutes, qui va de deux en deux, ayant trouvé qu’elle sert à la perfection de la science des Nombres. Ainsi je n’y employé point d’autres caractères que 0 et 1, et puis allant à deux, je recommence. C’est pourquoi deux s’écrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, et deux fois quatre ou huit par 1000, et deux fois huit ou seize par 10000, et ainsi de suite. Voici la Table des Nombres de cette façon, qu’on peut continuer tant que l’on voudra. On voit ici d’un coup d’oeil la raison d’une propriété célèbre de la progression Géométrique double en Nombres entiers, qui porte que si on n’a qu’un de ces nombres de chaque degré, on en peut composer tous les autres nombres entiers au dessous du double du plus haut degré. Car ici, c’est comme si on disait par exemple, que 111 ou 7 est la somme de quatre, de deux et un, et que 1101 ou 13 est la somme de huit, quatre et un. Cette propriété sert aux Essayeurs pour peser toutes sortes de masses avec peu de poids et pourroit servir dans les monnoyes pour donner plusieurs valeurs avec peu de pièces. Cette expressions des Nombres étant établie, sert à faire très facilement toutes sortes d’opérations. Et toutes ces opérations sont si aisées, qu’on n’a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire. On n’a point besoin non plus de rien apprendre par coeur ici, comme il faut faire dans le calcul ordinaire, où il faut, savoir, par exemple, que 6 et 7 pris ensemble font 13, et que 5 multiplié par 3 donne 15, suivant la Table d’une fois un est un, qu’on appelle Pythagorique. Mais ici tout cela se trouve et se prouve de source, comme l’on voit dans les exemples précédens sous les signes ☽ et ⊙. Cependant je ne recommande point cette manière de compter, pour la faire introduire à la place de la pratique ordinaire par dix. Car outre qu’on est accoutumé à celle-ci, on n’y a point besoin d’y apprendre ce qu’on a déjà appris par coeur : ainsi la pratique par dix est plus abrégée, et les nombres y sont moins longs. Et si on étoit accoutumé à aller par douze ou par seize, il y auroit encore plus d’avantage. Mais le calcul par deux, c’est-à-dire par 0 et par 1, en récompense de sa longueur, est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles découvertes, qui se trouvent utiles ensuite, même pour la pratique des nombres, et surtout pour la Géométrie, dont la raison est que les nombres étant réduits aux plus simples principes, comme 0 et 1, il paroit partout un ordre merveilleux. Pour exemple, dans la Table même des Nombres, on voit en chaque colonne régner des périodes qui recommencent toujours. Dans la première colonne c’est 01, dans la seconde 0011, dans la troisième 00001111, dans la quatrième 0000000011111111, et ainsi de suite. Et on a mis de petits zéros dans la Table pour remplir le vuide au commencement de la colonne, et pour mieux marquer ces périodes. On a mené aussi des lignes dans la Table, qui marquent que ce que ces lignes renferment revient toujours sous elles. Et il se trouve encore que les Nombres Quarrés, Cubiques et d’autres puissances, item les Nombres Triangulaires, Pyramidaux et d’autres nombres figurés, ont aussi de semblables périodes, de sorte qu’on en peut écrire les Tables tout de suite, sans calculer. Et une prolixité dans le commencement, qui donne ensuite le moyen d’epargner le calcul et d’aller à l’infini par règle, est infiniment avantageuse. Ce qu’il y a de surprenant dans ce calcul, c’est que cette Arithmétique par 0 et 1 se trouve contenir le mystère des lignes d’un ancien Roi et Philosophe nommé Fohy, qu’on croit avoir vécu il y a plus de quatre mille ans et que les Chinois regardent comme le Fondateur de leur Empire et de leurs sciences. Il y a plusieurs figures linéaires qu’on lui attribue, elles reviennent toutes à cette Arithmétique ; mais il suffit de mettre ici la Figure de huit Cova comme on l’appelle, qui passe pour fondamentale, et d’y joindre l’explication qui est manifeste, pourvu qu’on remarque premièrement qu’une ligne entière — signifie l’unité ou 1, et secondement qu’une ligne brisée - - signifie le zéro ou 0. ¦¦¦ · 000 · 0 · 0 ¦¦| · 001 · 1 · 1 ¦|¦ · 010 · 10 · 2 ¦|| · 011 · 11 · 3 |¦¦ · 100 · 100 · 4 |¦| · 101 · 101 · 5 ||¦ · 110 · 110 · 6 ||| · 111 · 111 · 7 Les Chinois ont perdu la signification des Cova ou Lineations de Fohy, peut-être depuis plus d’un millénaire d’années, et ils ont fait des Commentaires la-dessus, où ils ont cherché je ne sçai quels sens éloignés, de sorte qu’il a fallu que la vraie explication leur vint maintenant des Européens. Voici comment : Il n’y a guères plus de deux ans que j’envoyai au R. P. Bouvet, Jésuite Français célèbre, qui demeure à Pékin, ma manière de compter par 0 et 1, et il n’en fallut pas davantage pour lui faire reconnaître que c’est la clef des figures de Fohy. Ainsi m’écrivant le 14 Novembre 1701, il m’a envoyé la grande figure de ce Prince Philosophe qui va à 64, et ne laisse plus lieu de douter de la vérité de notre interprétation, de sorte qu’on peut dire que ce Père a déchiffré l’enigme de Fohy, à l’aide de ce que je lui avois communiqué. Et comme ces figures sont peut-être le plus ancien monument de science qui soit au monde, cette restitution de leur sens, après un si grand intervalle de tems, paroitra d’autant plus curieuse. Le consentement des figures de Fohy et ma Table des Nombres se fait mieux voir, lorsque dans la Table on supplée les zéros initiaux, qui paroissent superflus, mais qui servent à mieux marquer la période de la colonne, comme je les y ai supplées en effet avec des petits ronds pour les distinguer des zéros nécessaires, et cet accord me donne un grande opinion de la profondeur des méditations de Fohy. Car ce qui nous paroit aisé maintenant, ne l’étoit pas tout dans ces tems éloignés. L’Arithmétique Binaire ou Dyadique est en effet fort aisée aujourd’hui, pour peu qu’on y pense, parce que notre manière de compter y aide beaucoup, dont il semble qu’on retranche seulement le trop. Mais cette Arithmétique ordinaire pour dix ne paroit pas fort ancienne, au moins les Grecs et les Romains l’ont ignorée et ont été privés de ses avantages. Il semble que l’Europe en doit l’introduction à Gerbert, depuis Pape sous le nom de Sylvestre II, qui l’a eue des Maures d’Espagne. Or comme l’on croit à la Chine que Fohy est encore auteur des caractères Chinois, quoique fort altérés par la suite des tems ; son essai d’Arithmétique fait juger qu’il pourroit bien s’y trouver encore quelque chose de considérable par rapport aux nombres et aux idées, si l'on pouvoit déterrer le fondement de l’écriture Chinoise, d’autant plus qu’on croit à la Chine, qu’il a eu égard aux nombres en l’établissant. Le R. P. Bouvet est fort porté à pousser cette pointe, et très capable d’y réussir en bien des manières. Cependant je ne sçai s’il y a jamais eu dans l’écriture Chinoise un avantage approchant de celui qui doit être nécessairement dans une Caractéristique que je projette. C’est que tout raisonnement qu’on peut tirer des notions, pourroit être tiré de leurs Caractères par une manière de calcul, qui seroit un des plus importans moyens d’aider l’esprit humain. ---- 中文译文 · Claude（AI）译 二进制算术释义：只用 0 与 1 两个字符，兼论其用处，及其如何揭示中国古代伏羲图形的含义 寻常的算术按十进位进行。我们使用十个字符：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，分别表示零、一以及其后直到九为止的各数。到了十，就重新开始，把十写作 10，十个十即一百写作 100，十个一百即一千写作 1000，十个一千写作 10000，依此类推。 但我多年来所用的不是十进位，而是一切进位中最简单的一种：逢二进一。因为我发现，它有助于数的科学臻于完善。所以我在其中只用 0 和 1 两个字符，到了二就重新开始。因此在这里，二写作 10，二乘二即四写作 100，二乘四即八写作 1000，二乘八即十六写作 10000，依此类推。下面是按这种写法列出的数表，愿意的话可以一直续写下去。 在这里，人们一眼就能看出整数中倍增等比数列一条著名性质的道理：如果每一级的数各有一个，就能用它们组成小于最高一级之两倍的所有其他整数。因为这就好比说，111 即 7 是四、二、一之和，1101 即 13 是八、四、一之和。这一性质被检验金银的人用来以很少的砝码称量各种重量，也可以用于铸币，以很少的几种钱币凑出许多种币值。 这种表示数的方法一经确立，做各种运算都非常容易。 而且所有这些运算都极其简便，从来不必像在寻常除法中那样去试、去猜。在这里也不必像在寻常计算中那样死记硬背：在那里必须记住，比如 6 加 7 等于 13，5 乘 3 得 15，依照那张被称为“毕达哥拉斯表”的“一一得一”乘法表。而在这里，这一切都可以从根源上得出并加以证明，正如前面在 ☽ 和 ⊙ 两个记号下的例子所示。 不过，我并不主张用这种计数法取代寻常的十进制实践。因为除了我们早已习惯十进制之外，在十进制里我们也无须重新学习早已背熟的东西：所以十进制的实践更为简捷，数也写得更短。倘若我们习惯的是十二进或十六进，好处还会更多。但是逢二进位的计算，也就是只用 0 和 1 的计算，虽然冗长，却另有补偿：它是科学上最根本的方法，并带来新的发现；这些发现随后又被证明是有用的，甚至对数的实际运算也有用，尤其是对几何学。其道理在于：当数被化归到最简单的原理，如 0 和 1 时，处处都会显现出一种奇妙的秩序。例如，就在数表本身里，可以看到每一列中都有周期在支配着，周而复始。第一列是 01，第二列是 0011，第三列是 00001111，第四列是 0000000011111111，依此类推。表中还放了一些小零，用来填补各列开头的空缺，更清楚地标出这些周期。表中又画了一些线，表明线所围住的部分总是在线下重新出现。人们还发现，平方数、立方数及其他乘方数，以及三角形数、棱锥数和其他形数，也都有类似的周期，因此可以直接写出它们的表来，无须计算。开头的这一点冗长，换来的是此后得以省去计算、按规则一直推演到无穷，这是无限有利的。 这种计算中令人惊异的是：这种用 0 和 1 的算术，竟然包含着一位名叫伏羲（Fohy）的古代帝王兼哲人所画之线的奥秘。人们相信他生活在四千多年以前，中国人把他视为他们的帝国和学术的奠基者。归于他名下的线形图形有好几种，全都可以归结到这种算术上来；不过在这里，只须列出那幅被称为“八卦”（Cova）、被视为根本的图形，并附上其解释——这解释是一目了然的，只要先注意到：一条完整的线 — 表示单位即 1，其次，一条断开的线 - - 表示零即 0。 ¦¦¦ · 000 · 0 · 0 ¦¦| · 001 · 1 · 1 ¦|¦ · 010 · 10 · 2 ¦|| · 011 · 11 · 3 |¦¦ · 100 · 100 · 4 |¦| · 101 · 101 · 5 ||¦ · 110 · 110 · 6 ||| · 111 · 111 · 7 中国人已经失去了伏羲之卦、伏羲之画的含义，也许已有一千多年；他们为之作了种种注疏，从中寻求我不知是什么样的玄远之义，以至于真正的解释如今得由欧洲人带给他们。事情是这样的：两年多一点以前，我把我用 0 和 1 计数的方法寄给了住在北京的著名法国耶稣会士白晋（Bouvet）神父，仅凭这一点，他就认出这正是解开伏羲图形的钥匙。于是，他在 1701 年 11 月 14 日给我的信中，寄来了这位哲人君主那幅直到 64 的大图，使我们的解释之真确再无可疑之处；所以可以说，这位神父借助我告诉他的东西，破解了伏羲之谜。这些图形也许是世上现存最古老的科学遗迹，相隔如此久远之后，其意义得以复原，就显得格外奇妙了。 如果在数表中补上开头的那些零，伏羲的图形与我的数表之间的吻合就更容易看出。这些零看起来是多余的，却有助于更清楚地标出各列的周期；我实际上已经把它们补上了，画成小圆圈，以便与必需的零区分开来。这种吻合使我对伏羲沉思之深邃评价甚高。因为在今天看来容易的事，在那遥远的年代却绝不容易。二进制或称二元算术，今天只要稍加思索，确实很容易，因为我们的计数方法给了很大帮助，似乎只要去掉多余的部分就行了。但这种寻常的十进算术看来并不十分古老，至少希腊人和罗马人就不知道它，因而享受不到它的好处。欧洲引入十进算术，似乎要归功于热尔贝，即后来的教皇西尔维斯特二世，而他又是从西班牙的摩尔人那里得来的。 既然在中国人们相信伏羲也是汉字的创造者——尽管汉字随着时间的推移已经变化很大——那么，他在算术上的这一尝试使人推想：如果能够发掘出汉字的根基，或许还能在其中找到某些与数和观念有关的重要东西；尤其是因为在中国人们相信，他在创立汉字时考虑到了数。白晋神父很想在这一点上深入下去，而且在许多方面都很有能力取得成功。然而我不知道，汉字中是否曾经有过一种优点，能接近我所设想的那种“普遍文字”（Caractéristique）所必然具有的优点：那就是，凡是能从概念中得出的推理，都可以用一种计算的方式从这些文字符号中得出。这将是帮助人类心智的最重要的手段之一。