九章算術·方田（分數諸術）
九章算术·方田（分数诸术）
佚名（汉代）（成书不晚于公元 1 世纪）
秦汉 · 约成书于公元 1 世纪

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来源：Wikisource，https://zh.wikisource.org/wiki/九章算術（取于 2026-10-11）
白话译文：Claude（AI），2026 · CC0 1.0
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卷第一　方田

今有十八分之十二。問：約之得幾何？

荅曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。問：約之得幾何？

荅曰：十三分之七。

約分術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。

今有三分之一，五分之二。問：合之得幾何？

荅曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。問：合之得幾何？

荅曰：得一、六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問：合之得幾何？

荅曰：得二、六十分之四十三。

合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法。實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。

今有九分之八，減其五分之一。問：餘幾何？

荅曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，減其三分之一。問：餘幾何？

荅曰：十二分之五。

減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一。

今有八分之五，二十五分之十六。問：孰多？多幾何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。問：孰多？多幾何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七。問：孰多？多幾何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一，即相多也。

今有三分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少，各幾何而平？

荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平於十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少，各幾何而平？

荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。

平分術曰：母互乘子，副并為平實。母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法。以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少。以法命平實，各得其平。

今有七人，分八錢三分錢之一。問：人得幾何？

荅曰：人得一錢、二十一分錢之四。

又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問：人得幾何？

荅曰：人得二錢、八分錢之一。

經分術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之；重有分者同而通之。

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卷第一　方田

今有十八分之十二。问：约之得几何？

答曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。问：约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

今有三分之一，五分之二。问：合之得几何？

答曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。问：合之得几何？

答曰：得一、六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问：合之得几何？

答曰：得二、六十分之四十三。

合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法。实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。

今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？

答曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，减其三分之一。问：余几何？

答曰：十二分之五。

减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

今有八分之五，二十五分之十六。问：孰多？多几何？

答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。问：孰多？多几何？

答曰：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七。问：孰多？多几何？

答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。

今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？

答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？

答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

平分术曰：母互乘子，副并为平实。母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

今有七人，分八钱三分钱之一。问：人得几何？

答曰：人得一钱、二十一分钱之四。

又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问：人得几何？

答曰：人得二钱、八分钱之一。

经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之；重有分者同而通之。

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白话译文 · Claude（AI）译

卷第一　方田

现在有十八分之十二。问：约分后得多少？

答：三分之二。

又有九十一分之四十九。问：约分后得多少？

答：十三分之七。

约分术说：分子、分母都可以折半的，就先折半；不能折半的，就把分母、分子的数并排摆出来，用小数去减大数，彼此反复相减，求出它们相等的那个数。再用这个等数去约分子和分母。

现在有三分之一、五分之二。问：相加得多少？

答：十五分之十一。

又有三分之二、七分之四、九分之五。问：相加得多少？

答：得一又六十三分之五十。

又有二分之一、三分之二、四分之三、五分之四。问：相加得多少？

答：得二又六十分之四十三。

合分术说：用各个分母交互去乘其他分数的分子，相加，作为被除数；各个分母相乘，作为除数。用除数去除被除数。不满一个除数的余数，就以除数为分母来命名它。如果分母相同，就直接把分子相加。

现在有九分之八，减去五分之一。问：剩下多少？

答：四十五分之三十一。

又有四分之三，减去三分之一。问：剩下多少？

答：十二分之五。

减分术说：分母交互去乘分子，用小数减大数，余数作为被除数。分母相乘作为除数。用除数去除被除数。

现在有八分之五、二十五分之十六。问：哪个多？多多少？

答：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八、七分之六。问：哪个多？多多少？

答：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八、五十分之十七。问：哪个多？多多少？

答：二十一分之八多，多一千零五十分之四十三。

课分术说：分母交互去乘分子，用小数减大数，余数作为被除数。分母相乘作为除数。用除数去除被除数，就是两数相差的数。

现在有三分之一、三分之二、四分之三。问：从多的里面减去，补给少的，各减补多少才能相等？

答：从四分之三中减去十二分之二，从三分之二中减去十二分之一，合起来补给三分之一，三个数便都等于十二分之七。

又有二分之一、三分之二、四分之三。问：从多的里面减去，补给少的，各减补多少才能相等？

答：从三分之二中减去三十六分之一，从四分之三中减去三十六分之四，合起来补给二分之一，三个数便都等于三十六分之二十三。

平分术说：分母交互去乘分子，另外把所得的积加起来，作为平实。分母相乘作为除数。用项数去乘尚未相加的各个积，各自作为列实。也用项数去乘除数。用平实去减各个列实，余数约简后，就是所要减去的数。把所减去的数合起来，补给少的。以除数为分母来命名平实，各数就都得到了它们的平均数。

现在有七个人，分八又三分之一钱。问：每人得多少？

答：每人得一钱又二十一分之四钱。

又有三又三分之一个人，分六钱又三分之一钱、四分之三钱。问：每人得多少？

答：每人得二钱又八分之一钱。

经分术说：以人数作为除数，钱数作为被除数，用除数去除被除数。有分数的，就把它化成同一单位的分数；两边都有分数的，就先使分母相同，再化成分数。